正文 第5节

  参量的图形。在图23中，相应于经度ab的间隔时间的匀加速运动中，ab的每一p点的纬度是纵坐标pq，其长度是相应于该瞬间的速度。此图形的直线dc代表速度状态的轨迹图。所谓的默顿规则立即就从图23的几何证明中推导出来：从图23中的梯形的面积公式中得出通过的距离：

  s＝12v一vft。

  也许这种解释是以把这种面积看成是由许多垂直线段“不可见量”为基础构成的，每一线段都代表以非常短“无限小”时间中的速度。默顿规则表明，甚至在这很早的状态空间探究方式中，一个好的几何表示就不仅仅是一种有用的形象化，而且还发现了关于动力学的新的概念。当然，奥雷斯密和默顿这些学者最初都只是想把关于特质的亚里士多德类型的物理学加以数学化。但是，他们的工作却在欧洲引起了广泛的沮丧，从而引起伽利略写了一部著作。伽利略著名的关于两种新科学的谈话1638中，引入了近代力学的基本概念，提出了众所周知的关于从静止开始的匀加速运动自由落体的距离公式s＝12at2，并给出了相应的证明及类似于奥雷斯密思想的几何图形。

  由于牛顿和莱布尼茨，动力系统理论被加入了新内容。微积分允许人们把瞬时速度计算为速度函数的导数，并可以图示为相应曲线的切矢量图24a。速度矢量场已经成为动力系统理论中的一个基本概念图24b。用微积分的微分程序通过轨迹决定速度矢量。与此相反，微积分的积分方式使人们可以通过速度矢量决定轨迹。

  动力系统的建模策略首先是选择一个态空间，观测结果可以用几个参量来代表。连续的观测得出了此态空间的许多轨迹。在牛顿和莱布尼茨的微积分的意义上，速度矢量可以在这些曲线上的任意点导出，并描述它们在该点的固有动力学趋势。对于态空间任意点的速度矢量的描述，就定义了一个速度矢量场。充满着轨迹的态空间称作该动力系统的“相图”图24c。这个动力系统的基本概念最初是亨利彭加勒引人的。速度矢量场通过微分方法从相图推导出来。

  当然，速度矢量场形象地表示了被建模的系统的动力学。实际上，进行长时间的广泛的观测，对于揭示系统由相应的速度矢量场代表的动力学趋势是必要的。此建模程序是恰当的，如果我们假定了：a一个观测轨迹的速度矢量在任意一点都精确地等于由该动力系统说明的矢量，b模型的矢量场是平滑的；“平滑”一词指的是直觉地认为在此不存在跳跃c不存在尖锐的拐角。在一维态空间的情形，矢量场由平面上的图像来说明。因此，如果此图像连续，其导数也连续，此图像就是平滑的。历史上，条件b相当于莱布尼茨著名的连续性原理，它在经典物理学框架中处于某种支配性地位。

  一般地说，我们把建模程序概括如下：一个动力模型，它总是针对某一实验提出来的。我们可以设想一下如伽利略和牛顿使用过的实验室物理装置，或者生物学家对某些有机体进行的观察，或者甚至社会学家对某些社会群体的考察。动力学模型由态空间和矢量场构成。态空间是该实验情形的几何空间例如，欧几里得平面或一般地某个拓扑流形。矢量场代表了状态变化的习惯趋势，被称作该模型的动力学。我们如何才能找出轨迹从而找出系统的行为呢从技术上看，这个问题是由获得该系统的相图来解决的。这意味着，我们必须要构造出该动力系统的轨迹。给定一个态空间和一个“平滑”矢量场，如果在切矢量的意义上，其速度矢量与矢量场的一致，在态空间的一条曲线就是该动力系统的一条轨迹［图25］。相应于零时刻的点叫做轨迹的起始态。这些轨迹被认为是，描述了系统的在一定时间间隔中的观测行为。而且，物理学家曾经雄心勃勃地力图实现对于无限长时间未来的预测，并计算出大自然的途径，就像大自然是一架大钟一样。

  让我们扼要看一看牛顿的宇宙。它表现为通过使用牛顿c莱布尼茨和欧拉等人的数学工具，对动力系统理论的成功应用。牛顿用3个定律支配着实物物体的行为。第一定律“惯性定律”说，一个物体将保持匀速的直线运动，如果没有外力作用于它。如果的确有外力作用于它，那么其质量乘以其加速度就等于该外力第二定律。再加上第三定律就完成了基本框架：对于每一个作用总是有一个相反的大小相等的反作用。牛顿的宇宙由微粒构成，在空间作圆周运动，它服从欧几里得几何定律。这些微粒的加速度由作用于其上的力所决定。作用于每一微粒的力，是所有其他微粒的力的矢量和。如果此种力是一种引力，那么它在两个物体之间的吸引作用的强度，与两个质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。当然，在此还可能有其他类型的力。

  实际上，牛顿的第二定律被理解为宏观宇宙和微观宇宙的所有自然力的一般图式。借助特定的力的定律，牛顿图式就翻译成精确的系统动力方程系统。如果已知种种微粒某一时刻的位置。速度和质量，那么它们以后所有的位置和速度都在数学上确定了。简言之，牛顿宇宙中的一个物体的状态，由位置和速度两个参量加以规定。牛顿轨迹由运动的动力方程来确定。如果起始状态已知，那么牛顿宇宙的行为看来就是完全确定的。这种形式的确定论对18世纪和19世纪的哲学有巨大的影响。牛顿的动力学被理解为大自然建立模型的基础科学。但是，这种力学模型当然只有在忽略摩擦的有限情形下才是有效的，它们从来没有在实验上完全实现过。大自然是如此的复杂，以致物理学家宁可观测非自然的“人工的”有条件限制的情形。在后面，我们将看见，物理学家对简单规律的信奉，完全忽略了起始条件和约束条件的复杂性，因而造成了确定论的c可以彻底计算的幻想模型。

  按照牛顿的观点，在一种绝对空间－时间框架中只有一个真实的物质世界，我们可以在其中选择相对的参考系。这意味着，任意两个事件都被看作是客观可确定的，而不论它们是同时发生的还是在同一位置发生的。数学上，牛顿的绝对空间用三维欧几里得空间来表示，其尺度用尺子来度量，而时间则被看作是一维的欧几里得空间，其坐标t由标准钟来度量。

  因为其绝对同时性，牛顿四维空间－时间被同时事件的最大子集划分为不同层次。每一层是一个可能的事件e的三维超平面t＝te，它将其因果性的未来tcte层，与其因果性的过去tcte层分隔开来。在图26a中，忽略了第三维空间，以使每一层都形象地表示为二维平面。这个因果结构包括了牛顿的假设：存在着任意远的以超距同时作用的信号。

  牛顿的相对空间被兰格准确地描述为：不受外力以恒定速度沿直线运动物体的参考系的惯性系。在这许多可能的惯性系中使用哪一个，这并没规定从一个惯性系变换到另一个惯性系伽利略变换，也给出了相应的坐标。力学定律对于这些变换是守恒的不变的。由于每一伽利略变换都有10个连续的参量时间1个，旋转c恒速和平移共3乘3个，于是就可以推导出10个守恒定律。例如，时间坐标的伽利略不变量意味着能量守恒定律。非惯性系的参考系具有典型的效应。一个相对于固定恒星旋转的圆盘，其径向力是伽利略变换所消除不了的。简言之，在牛顿的空时中，匀速运动被看作绝对的优先于加速运动。它的结构由伽利略变换群来定义。

  本世纪初，爱因斯坦证明了牛顿的空－时模型局限在相对于高速光运动的低速运动。与任何运动参考系无关的常数c，是麦克斯韦电动力学中的一个因子。因此，牛顿的速度加和定律和伽利略的不变量在电动力学中不可能成立。在狭义相对论中1905，爱因斯坦假定，光速恒定，物理定律相对于所有惯性系具有不变性“狭义相对性原理”；并为电动力学和力学推导出一个共同的空时框架。闵可夫斯基用四维几何为爱因斯坦的狭义相对论的空－时建立起来模型。我们不应对四维性感到吃惊，因为牛顿的空－时中已经是三维笛卡尔空间以及一维时间坐标。

  为了简单性起见，选取单位时规定光速等于1，从而长度和时间单位可以交换。空－时中的每一点都代表一个事件，它意味着在某一时刻的空间的某一点。由于粒子在时间中持续，因此它并不由点来代表，而是由一条线来代表，这条线被称作粒子的世界线。为了把闵可夫斯基模型表示出来，可以画出一个空－时系统，以标准时间坐标来度量垂直方向，两个空间坐标来度量水平方向图26b。

  匀速运动的粒子由直线来表示，加速运动的粒子由曲线来表示。由于光粒子光子以基本速度c匀速运动，它们的世界线是直线，与垂直方向的夹角为45度。它们形成了一个光锥，具有共同的原点0。在所有的空－时点的光锥系统，被称作相对论空－时的闵可夫斯基模型。

  光子的世界线的每一点总是处于光锥上，与此不同，任何以低于c运动的实物粒子的加速或匀速运动，其世界线每一点都必定总是处于光锥之中。由于实物粒子或光子的运动速度不可能高于光速，因此只有处于光锥上或是落在光锥内部的世界线才是物理上确定的。一个事件被看作是晚于0的，如果它处在0以上的未来光锥中；它被看作是早于0的，如果它处于低于0的过去光锥中。因此，光锥决定了相对空－时的因果结构。

  在闵可夫斯基模型与普通的欧几里得表象之间，基本的差异在于，世界线的长度被解释为由物理钟度量的时间。因此，与牛顿绝对时间假设相反，时间测量变得与路径有关。所谓的“孪生子悖论”极为形象地表达了这种效应。在图26c中，一个孪生子留在匀速c缓慢运动的地球r之上，而另一个孪生子以极大的接近光速的速度进行了一次到靠近恒星s的地方的旅行。闵可夫斯基几何学预言，进行了旅行的那位孪生子在他从q处返回时仍然年轻，而呆在家中的那一位孪生子却变成了一位老人。这当然不是科学幻想，而是闵可夫斯基世界线的时间测量长度的结果：闵可夫斯基距离rq大于距离rs和sq之和，这与通常的欧几里得解释相反。今天，对于以接近光速c运动的基本粒子，这些效应已经从实验上得到了很好的确证。

  在闵可夫斯基空－时框架中，物理定律对于特定惯性系的不变性已经由洛仑兹变换所实现。具有伽利略不变性的牛顿空－时在极限的情形下仍然保持：诸如行星天体或地面上的弹子球的运动，它们的速度要远小于常数c。在此意义上，爱因斯坦空－时是经典物理学的顶点，而不是一场打破牛顿空－时的革命。

  由莱布尼茨首先引入经典物理学的一个重要概念是能量，它包括系统的动能t和势能u。使质点从位置1移动到位置2完成的机械功，相当于在位置1和位置2之间的动能之差。如果机械功与从位置1到位置2的路径无关，则相应的力场叫做保守力场。摩擦力不是保守力。在一维情形，忽略掉摩擦力时，所有的力都必定是保守的，因为此时从直线上的一点到另一点只有唯一的路径。总能量tu在保守力场中是一个常量。

  牛顿力学的一个重要应用是谐振子，如小振幅的单摆或弹簧上重锤的上下振动。在物理学各个领域中甚至在化学和生物学中，谐振子都是一种模型。例如，回忆一下电磁光波，在此发生着电场能和磁场能的振动。谐振子在技术中也为人们所熟知，例如线圈和电容中振荡的电流，这里摩擦力相当于电阻。在18世纪和19世纪的哲学中，单摆是机械宇宙的一个象征，它显得是完全确定的，并可由运动的牛顿方程进行计算。

  因此，单摆可以看作动力学建模程序的一个经典例子。这种模型假定，摆杆轻巧而又坚固，上端的结合部完全无摩擦，底部的重锤沉重但体积非常小。重力总是将其垂直下拉。在图27a中，二维欧几里得平面中的单摆升高角度为a，重力为f，沿摆杆的拉力为fsa，力fsa使之回摆。为了形象地表示出单摆的动力行为，必须建立起态空间和相图的动力学模型。单摆的状态是完全由角度变量aa＝0和a＝2π表示同样的角度和角速度v决定的。因此，我们获得一种二维态空间，它可以形象地表示为图27b中的循环圆柱。在圆柱中部的垂直圆圈代表了零角速度v＝0的状态。圆柱下部从前至后的直线是零倾斜a＝0轴线，单摆在此处于最低点。在a，v＝0，0，单摆处于最低的静止位置。

  由于在此没有摩擦和空气阻力，把单摆稍微向左边动一下后就会使它不断地来回摆动。在此态空间，相应于这个振荡运动的完整轨迹是一个圆圈，或封闭的环。在下一种情形中，单摆在顶部处于平衡状态，这是不稳定平衡。在左边的一个细微的触动会使得它向右边落下，并加快速度。当单摆通过摆动的底部时，角速度达到其极大值。在再向顶部返回时，单摆会慢下来。单摆再次在其顶部达到平衡。但是，当其处于旋转始态时，用了较大的力使之向右运动，那么其角速度就要大一些。在再次返回运动时，它会变慢，但是不足以在顶部静止下来。于是，单摆就会不停地顺时针旋转下去。在圆柱态空间的相应轨迹是一个循环圈。与慢的振荡不同，快的循环绕圆柱转动。实施多次的试验将揭示这个动力模型的相图图28a。在此有两个平衡点。在顶部是一个鞍点。在起始处是一个涡旋点，它不是附近轨迹的极限点。当把圆柱沿着直线通过顶部的鞍点从前向后劈开时图28b，相图就更容易看清楚。

  如果此系统不是封闭的，而是像物理现实中包括了摩擦效应，在起始处平衡点就不再是涡旋点图28c。它成为螺旋类型的吸引子。由于摩擦，单摆的任何运动最终都将静止下来，任何代表此单摆接近底部的慢运动，都将对称地趋向这个极限点。

  在两维或更多维的情形下，还可以有其他类型的轨迹和极限集。例如，一个环可以是反对称的轨迹极限集图29；在三维系统中，可能出现环形圆纹曲面的极限集，甚至是其他更奇怪的极限集。

  极限集使我们能够为一个演化系统建立平衡态的模型。关键的概念是被称作“吸引子”的极限集。数学上，一个极限集极限环c循环c环形圆纹曲面等等被称作一个吸引子，如果所有轨迹都反对称地趋向于该极限集的集合是开放的。大致地说，吸引子接受了极限集邻域中的绝大多数轨迹。代表了系统的可能动态平衡点的所有极限集中，吸引子是最引人瞩目的。在外在极限点的情形下，一个吸引子代表了一个静态平衡，而作为吸引子的一个极限环标志了一个振荡周期性平衡。单摆c弹簧或乐器的振动只是机械应用的若干种例子。我们在后面还将看到，振荡动力系统的周期平衡在物理学c化学c生物学和社会科学中都起着重要的作用。

  在典型的相图中，将有一个以上的吸引子。相图将被划分为它们的不同的趋向吸引子的区域。划分的边界或区域被称作分区。图210中，有两个点吸引子，各具自己趋向轨迹的开放集和自己的分区。

  在现实中，一个动力系统不可能被看作是于其他动力系统的。为了获得更适合的模型，我们将研究两个耦合的系统。一个简单的例子是两个时钟的耦合。历史上，17世纪克里斯蒂安惠更斯观察到了这种特殊的系统。他注意到，挂在同一面墙上的两个时钟趋向于同步。这种现象是通过墙壁的弹性由非线性耦合引起的。的确，任何两个动力系统，通过构造出两个相应的态空间的笛卡尔乘积，都可以组合成一个系统。这种组合系统的一个小的扰动叫做两个系统的一个耦合。这种组合系统的状态的几何模型以如下方式形成。

  时钟a和b都是一种振荡子。为了形象地表示出两个振荡子的渐进线行为，瞬时行为被忽略，位移和速度两个参量的绕的极限环的欧几里得平面二维状态模型也就用该极限环来代替。振荡子a的一个状态，用一个相应于它的相的角度a来说明图211a，振荡子b的一个状态则用角度b来说明图211b。

  为了构造出这两个振荡子组合系统的态空间，我们设想时钟a的极限环在水平平面上。这个平面循环中的每一点代表a的一个相状态。我们将这样一个点看作时钟b的极限环的中心，时钟b垂直于时钟a的水平平面图211。。该垂直循环上的每一点代表了b的一个相状态。相对a，b就代表了组合系统的状态。

  如果振荡子a停止在相a，振荡子b通过一个完整循环，那么组合的相点横穿过图211c中的垂直循环。如果振荡子a也运动通过一个完整循环，那么图211c中的垂直循环也沿着水平循环运动，描出图211d中的环形圆纹曲面。因此，两个振荡子的组合系统的态空间是环形圆纹曲面，它是两个循环的笛卡尔乘积。两个振荡子的实际状态的模型当然是四维的，而不是我们的示意图中仅仅是二维的。

  为了获得组合系统的动力学行为的相图，我们必须研究环形圆纹曲面态空间的矢量场和轨迹。我们首先假定，每一个时钟的状态都与另一个时钟的状态完全无关。在这种情形下，两个时钟是没有耦合的。相应于每一时钟的时间相的环形圆纹曲面上的轨迹点，都围绕环形圆纹曲面。如果每一时钟的速率都是恒定的，那么在此扁平垂直的环形圆纹曲面模型上，轨迹是一条直线图212。这条线的斜度是时钟b的速率与时钟a的速率的比值。如果两个时钟具有相同的运行速率，则比值等于1。给出相同的时间意味着两个时钟具有相同的相。于是，扁平环形圆纹曲面上的轨迹是图212a中的对角线。

  系统中的微小变化，将导致两个振荡子的速率或频率比值的微小变化。于是，在环形圆纹曲面上的轨迹从周期轨迹变化成准周期轨迹，或变化成多次缠绕的周

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